RL（电阻、电感）串联电路的暂态过程

RL串联电路与直流电压源接通

如右图所示为电阻、电感串联电路，当开关S打开时，电感元件没有存储能量，即$i_{L}(0_{-})=0$，在t=0时，将开关S闭合，在电压源作用下，电路中将有电流流过，电感元件储存能量，由于能量的积累有一个过程，需要一定的时间，所以在开关刚合上瞬间，电流$i_{L}$不能跃变，由换路定则$i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})=0$，电阻R上的压降$u_{R}(0_{+})=i_{L}(0_{+})\times R=0$即电阻上没有电压降，全部电压降均降落在电感L上。随着时间的推移，电感电流逐渐增大，当其增大到$i_{Lmax}=\frac{E}{R}$时，电感电压将减小为零，此时电感储存的能量达到最大值$W_{L}=\frac{1}{2}Li_{Lmax}$。电路达到一个新的稳定状态，电感L相当于短路。

在开关合上的瞬间到电流为最大值时暂态过程的规律，根据KVL，对电路可列出下列回路电压方程：

$$\begin{matrix}
u_{R}+u_{L}=E\\
i_{L}R+u_{L}=E
\end{matrix}$$

将前文《电路中的无源元件：电阻、电容和电感元件》电感部分u的计算公式代入到上式中，整理后可得：

$$L\frac{di_{L}}{dt}+i_{L}R=E$$

此方程式是一阶常系数非齐次线性微分方程，解方程得电感电路电流的变化规律为：

$$\begin{matrix}
i_{L}=\frac{E}{R}-\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{L/R}}=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{1}{L/R}})\\
u_{L}=L\frac{di_{L}}{dt}=Ee^{-\frac{R}{L}t}\\
u_{R}=i_{L}R=E-Ee^{-\frac{R}{L}t}
\end{matrix}$$

从上式可以看出，电感与直流电压接通时，电流随时间随时间按指数规律连续增大，而电感端电压—随时间按指数规律连续减小，电阻上的电压亦按指数规律连续增大。它们随时间的变化曲线如下图所示。

需要指出，在换路瞬间，电感电流$i_{L}$不会发生跃变$i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})$。但是电感上的电压却在此瞬间发生了跃变$u_{L}(0_{-}=0),u_{L}(0_{+})=E$，这是因为电感端电压与电感的磁场能量无关。电感电压在换路瞬间是可以跃变的，所以并不违背换路定则。

RL串联电路的短接

右图所示是RL串联电路（一个实际线圈的电路模型），开关原先合在位置1，电路已处于稳态，电感已储有能量。在$t=0$时将开关S从位置1换接到2，使RL电路脱离电源被短接。此时RL电路虽然没有电源，但由于电感电流不能突变，电流不会立即消失，它将在RL回路中继续流动，电感原先储存的磁场能维持电流的流动，随着磁场能的减小，电流逐渐减小，最后为零。

对换路后的电路，根据KVL，列出t≥0时的回路电压方程：

$$u_{R}+u_{L}=0$$

将前文《电路中的无源元件：电阻、电容和电感元件》电感部分u的计算公式代入到上式中，整理后得：

$$i_{L}R+L$$

此方程亦是一阶常系数齐次线性微分方程，解方程得：

$$i_{L}R+L\frac{di_{L}}{dt}=0$$

求出$i_{L}$后可求出电感上的电压和电阻上的电压为：

$$\begin{matrix}
u_{R}=i_{L}R=\frac{E}{R}\times Re^{-\frac{L}{R}t}=Ee^{-\frac{L}{R}t}\\
u_{L}=-u_{R}=-i_{L}R=-Ee^{-\frac{L}{R}t}
\end{matrix}$$

$i_{L},u_{R},u_{L}$的变化曲线如右图所示。它们的绝对值都是随时间按指数规律减小到零的。

时间常数

上面的几个公式中的指数L/R具有时间量纲：

所以L/R也称时间常数，用τ表示，即τ=L/R。RL电路与直流电压源接通时，$i_{L}$上升的快慢是由时间常数τ决定的，也就是由电路本身的参数决定的；RL短接时，$i_{L}$衰减的快慢同样也是由τ即电路本身的参数决定的。

时间常数也可作如下说明：RL电路与电压源接通后，经过时间$t=τ=L/Rs$后，电感电流$i_{L}$恰好上升为$(1-e^-1),E/R=63.2%E/R$，如图右图所示，因此时间常数τ可以看成是电感电流增大到63.2%E/R时所需的时间。当RL电路短接时，τ是电感电流下降到63.2%E/R时所需的时间。

与电容器充放电相同，理论上RL电路的暂态过程要经过无限长的时间才结束，并进入一个新的稳定状态，但当暂态过程经历（3 ~ 5）倍τ时则认为已经结束。

RL串联电路的断路

右图所示的电路中，电路与电源E接通后已稳定，在t=0的时刻将开关S打开，使RL电路与电源断开，电路中的电流$i_{L}$急剧下降，则电流变化率$\frac{di}{dt}$很大，在电感L两端产生很大的自感电动势$e_{L}$。这样e_{L}和电源电动势E叠加后一起加于开关S的两端，会使开关触头间的空气击穿，形成火花或电弧，从而延缓了电路的断开。

在供用电规程中，规定不允许带负荷拉开作隔离电源用的刀闸，就是因为在系统中，大多数负荷是异步电动机，其工作时相当于RL串联电路，因此系统中存在着较大的磁场能量，带负荷拉隔离刀闸时，由于它没有灭弧装置，便会在刀闸上产生很大的电弧，严重时会引起相间短路，造成重大事故。